根轨迹法基础

根轨迹/根迹：开环传函某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在s 平面上变化的轨迹

由开环传递函数绘出闭环根的轨迹
根据闭环极点的分布分析系统性
首1标准型：

\begin{aligned} G (s) & = \frac{b_{0} (s - z_{1}) (s - z_{2}) \dots (s - z_{m})}{a_{0} (s - p_{1}) (s - p_{2}) \dots (s - p_{n})} = K^{*} \frac{\prod_{i = 1}^{m} (s - z_{i})}{\prod_{j = 1}^{n} (s - p_{j})} \end{aligned}

\begin{aligned} G (s) = K_{G}^{*} \frac{\prod_{i = 1}^{f} (s - z_{i})}{\prod_{i = 1}^{q} (s - p_{i})} \\ H (s) = K_{H}^{*} \frac{\prod_{j = 1}^{l} (s - z_{j})}{\prod_{j = 1}^{h} (s - p_{j})} \\ G (s) H (s) = K_{G}^{*} K_{H}^{*} \frac{\prod_{i = 1}^{f} (s - z_{i})}{\prod_{i = 1}^{q} (s - p_{i})} \frac{\prod_{j = 1}^{l} (s - z_{j})}{\prod_{j = 1}^{h} (s - p_{j})} \end{aligned}

\begin{aligned} Φ (s) = K_{G}^{*} (s) \frac{\prod_{i = 1}^{f} (s - z_{i}) \prod_{j = 1}^{h} (s - p_{j})}{\prod_{i = 1}^{n} (s - p_{i}) + K^{*} \prod_{j = 1}^{m} (s - z_{j})} \\ f + l = m q + h = n \end{aligned}

闭环系统根轨迹增益等于前向通路根轨迹增益
闭环零点由前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成
闭环系统极点，与开环系统零点/开环系统极点以及开环系统根轨迹增益有关

根轨迹法的基本任务：

由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点
（确定闭环极点后，确定闭环传递函数的形式。在已知闭环传递函数时，利用拉普拉斯逆变换求出闭环系统的时间响应）

根轨迹方程

闭环特征方程： $1 + G (s) H (s) = 0$
根轨迹方程： $G (s) H (s) = - 1$

\begin{array}{r} K^{*} \frac{\prod_{j = 1}^{m} (s - z_{j})}{\prod_{i = 1}^{n} (s - p_{i})} = - 1 \end{array}

相角条件：确定s平面上根轨迹的充分必要条件：根轨迹上的点满足相角条件，为闭环传函的极点

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{m} ∠ (s - z_{j}) - \sum_{i = 1}^{n} ∠ (s - p_{i}) = (2 k + 1) π \end{aligned}

模值条件：确定s平面上各点的 $K^{*}$ 值时使用

\begin{aligned} K^{*} = \frac{\prod_{i = 1}^{n} | s - p_{i} |}{\prod_{j = 1}^{m} | s - z_{j} |} \end{aligned}